LIMIT FUNGSI

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas
Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A
x→a
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….
 Subtitusi langsung.
 Faktorisasi.
 Mengalikan dengan bilangan sekawan.
 Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a

= k. A

2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a

= A + B

3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a

= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a

= A x B

4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a

Statistika

Statistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnya mengkaji/membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkan parameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistik jumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya.

1. Menyajikan Data Dalam Bentuk Diagram
2. Menyajikan Data Dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi
3. Menghitung Ukuran Pemusatan, Letak, dan Penyebaran Data

Teorema Sisa

1. Suku banyak berderajat n habis dibagi (x-a), maka sisanya adalah 0
2. Suku banyak berderajat n dibagi (x-a), maka sisanya adalah f(a)
3. Suku banyak berderajat n dibagi (ax+ b), maka sisanya adalah

Hasil bagi suku banyak f(x) oleh ax+b adalah H(x) dan sisa S, hal ini ditulis
f(x)=(ax+b)H(x)+S
untuk

Contoh :
Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x3 – x2 + 3x -1 oleh
a. x b. x-1 c. x+2 d. 2x+1
Jawab :

1. f(0) = -1
2. f(1)= 2 – 1 + 3 – 1 = 3
3. f(-2)= 2(-2)3 – (-2)2 + 3(-2) – 1 = -27
4. f(- ½ )=


Latihan :
13. Tentukan sisa pembagian x3 – 6x2 + 11x – 6 oleh
a. x+1 b. x-1 c. x+2 d.xX-2 e. x-3
14. Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx – 2 . Jika Sisa pembagian f(x) oleh x+1 sama dengan sisa pembagian f(x) oleh (x-2), tentukan nilai a dan b
Suku banyak berderajat lebih dari 2 dibagi (ax2+bx + c) mempunyai sisa ax + b
Contoh 11.
Tentukan hasil bagi x3-2x2+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2)
Jawab :
x3-2x2+ 4x – 3 = (x+1)(x-2)H(x) + ax + b
untuk x = -1 è (-1)3-2(-1)2 + 4(-1) -3 = (-1+1)(-1-2)H(x)= a(-1) + b
-1 – 2 – 4 – 3= -a + b
-a+ b = -10........................................................... (1)
untuk x = 2 è 8 – 8 + 8 – 3 = 2a + b
2a+b= 5 ............................................................... (2)
Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh a = 5 dan b = -5
Jadi Sisa pembagian x3-2x2+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2) adalah 5x - 5
Contoh 12.
x3 + ax + b:(x-1)(x-2) mempunyai sisa 2x+_1, tentukan a dan b
Jawab :
x3 + ax + b=(x-1)(x-2)H(x) + 2x + 1
untuk x = 1 è (1)2+ a(1) + b = 2(1) + 1
a + b = 2 ………………… (1)
untuk x = 2 è (2)3 + a(2) + b = 2(2) + 1
2a + b = -3 …………………..(2)
Dengan cara eliminasi atau substitusi maka diperoleh a =-5 dan b = 7

15. x10 + ax5 + b habis dibagi x2 – 1

Jawab :
x2 – 1= (x-1)(x+1)
untuk x=-1 è (-1)10 + a(-1)5 + b = 0 (karena f(x) habis dibagi x2 – 1)
a - b = -1 ……………………………………….. (1)
untuk x=1 è (1)10 + a(1)5 + b = 0
a + b = -1 …………………………………….. (2)
Dengan cara eliminasi atau substitusi didapat a = 0 dan b=-1

15. 2x3+ x2 + ax + 1 habis dibagi x2+ b, tentukan nilai a dan b

Jawab:
2x3+ x2 + ax + 1 =( x2+ b) H(x)
2x3+ x2 + ax + 1 =( x2+ b) (px + q)
2x3+ x2 + ax + 1 =px3 + qx2 + bpx + bq
p = 2 ; q = 1 ; a = bp ; bq = 1
bq = 1 è b = 1
a=bp ó a = 1.2 ó a = 2
Jadi : a =2 b=1 p = 2 q = 1

15. Tentukan nilai a dan b jika 4x3 + ax + b dibagi 2x2 + 1 mempunyai sisa (x+ 1)

Jawab :
4x3 + ax + b = (2x2 + 1)H(x) + (x+1)
4x3 + ax + b = (2x2 + 1)(2x + q) + (x+1)
= 4x3 + 2qx2 + 3x +q + 1
2q=0 ó q = 0 a=3 dan b= q+1 ó b = 1

15. H(x) dibagi (x-2) sisa 5, dan H(x) dibagi (x-3) sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(x-3)

Jawab
f(x) : x-1 sisanya 6 dan f(x) : (x-2)2 sisanya 6x + 1
f(x) = (x-1)(x-2) + ax + b
f(1) = a + b = 6
f(2)= 2a + 1 = 13
Didapat a= 7 dan b = -1

15. Jika f(x) dibagi (x-1)2 mempunyai sisa 2x+3. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-1)

f(1) = ( x – 1)2H(x) + 2x + 3
= 0 + 2 + 3 = 5
Sisa pembagian f(x) oleh (x-1) adalah 5

15. Jika f(x) dibagi (x-3) bersisa 2, tentukan sisa pembagian f(x)(x2+1) oleh (x-3)

Jawab :
f(x) = (x-3)H(x) + 2 ó f(3) = 2

15. f(x) dibagi (x2-4) mempunyai sisa 2x-2; g(x) dibagi (x-2) mempunyai sisa 5. Tentukan sisa pembagian [f(x).g(x)]2 oleh (x-2)

Jawab :
f(x) = (x-4)H(x) + 2x- 2 è f(2) = 2.2 – 2 = 2
g(x)= (x–3)H(x) + 5 è g(2) = 5
{f(x).g(x)}3 : (x-2) è { f(2). G(2) }3 = {2 . 5}3 = 1000

15. M(x) dibagi (x-2) sisa 6; H(x) dibagi (x-1)2 sisa 6x+1. Tentukan sisa pembagian M(x) oleh(x-1)(x-2)

Jawab :
f(x) = (x-1)(x-2)H(x) + ax + b
f(1) = a + b = 6
f(2) = 2a + b = 13
didapat a= 7 dan b = -1 Jadi Sisanya : 7x - -1

15. Jika f(x), g(x) habis dibagi (x+2) dan h(x)=x3-6x2-x+30 adalah KPK dari f (x) dan g(x). Tentukan nilai f(1)+g(1)=….

Jawab :

15. f(x):(x+2) sisanya 0; f(x) dibagi (x-1) sisanya 6; dan f(x) dibagi (x-2) sisanya 12. Tentukan persamaan parabola tersebut ?

27. Tentukan Tentukan sisa pembagian x2 –(2y+3)x + y2+ 3y + 2 oleh
1. (x-y-1) b. (x-y-2)


27. Tentukan faktor suku banyak 2x2 +(3y-y)x + (y-1)(y-2)=0

27. Tentukan sisa pembagian x3 + ax2 + bx+6 oleh x2-x – 2

matematika kelas XI

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<< kecil sekali ; » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x ® 0 sin x x ® 0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 bx x ® 0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... ¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3

2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial



7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥

l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensia
http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0433%20Mat%203-2b.htm